【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為, ,且.證明: .
【答案】(1)(2)詳見解析。
【解析】試題分析:(Ⅰ)首先求得函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合判別式判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求得的取值范圍;(Ⅱ)首先將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的實(shí)根, ,由此得到的范圍,從而得到的范圍,然后根據(jù)的表達(dá)式構(gòu)造新函數(shù),由此通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性使問題得證.
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
由題意 , , .
①若,即,則恒成立,則在上為單調(diào)減函數(shù);
②若,即,方程的兩個(gè)根為, ,當(dāng)時(shí), ,所以函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), ,所以函數(shù)單調(diào)遞增,不符合題意.
綜上,若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)根,
即有兩個(gè)不等的實(shí)根, ,
可得,且,
因?yàn)?/span>,則,可得.
,
.
令, , ,
∵,
又, 時(shí), ,
而,故在上恒成立,
所以在上恒成立,
即在上單調(diào)遞減,
所以,得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形的面積可無限接近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”,劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”,利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“世界睡眠日”定在每年的3月21日,某網(wǎng)站于2017年3月14日到3月20日持續(xù)一周網(wǎng)上調(diào)查公眾日平均睡眠的時(shí)間(單位:小時(shí)),共有2 000人參加調(diào)查,現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理分組后如下表所示.
序號(hào)(i) | 分組睡眠時(shí)間 | 組中值(mi) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率(fi) |
1 | [4,5) | 4.5 | 80 | |
2 | [5,6) | 5.5 | 520 | 0.26 |
3 | [6,7) | 6.5 | 600 | 0.30 |
4 | [7,8) | 7.5 | ||
5 | [8,9) | 8.5 | 200 | 0.10 |
6 | [9,10] | 9.5 | 40 | 0.02 |
(1)求出表中空白處的數(shù)據(jù),并將表格補(bǔ)充完整.
(2)畫出頻率分布直方圖.
(3)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,采用了計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算.程序框圖如圖所示,求輸出的S值,并說明S的統(tǒng)計(jì)意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某港口有一個(gè)泊位,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位?康臅r(shí)間(單位:小時(shí)),如果?繒r(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí),超過半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí),以此類推,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表:
停靠時(shí)間 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
輪船數(shù)量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?繒r(shí)間為小時(shí),求的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?小時(shí),且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá),求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時(shí)必須等待的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將7名應(yīng)屆師范大學(xué)畢業(yè)生分配到3所中學(xué)任教.
(1)4個(gè)人分到甲學(xué)校,2個(gè)人分到乙學(xué)校,1個(gè)人分到丙學(xué)校,有多少種不同的分配方案?
(2)一所學(xué)校去4個(gè)人,另一所學(xué)校去2個(gè)人,剩下的一個(gè)學(xué)校去1個(gè)人,有多少種不同的分配方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)離心率為,且滿足,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查高三年級(jí)學(xué)生的身高情況,按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生,得到男生身高情況的頻率分布直方圖(圖1)和女生身高情況的頻率分布直方圖(圖2).已知圖1中身高在170~175cm的男生人數(shù)有16人.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下列的列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分幾)的把握認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”?
總計(jì) | |||
男生身高 | |||
女神身高 | |||
總計(jì) |
(2)在上述80名學(xué)生中,從身高在170-175cm之間的學(xué)生按男、女性別分層抽樣的方法,抽出5人,從這5人中選派3人當(dāng)旗手,求3人中恰好有一名女生的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.025 | 0.610 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 4.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2當(dāng)x=-2時(shí)的值.
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