(本小題共12分)設x=3是函數(shù)f (x) = (x
2+ax+b)·e
3-x (x∈R)的一個極值點。
⑴求a與b的關(guān)系式,(用a表示b),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
⑵設a>0,
,若存在ε
1,ε
2∈[0,4],使|f (ε
1)-g (ε
2)|<1成立,求a的取值范圍。
(1)略
(2)
a的取值范圍是
。
解:⑴
(2分)
=
令
由于
x=3是極值點,所以3+
a+1≠0,那么
a≠-4。
當
a<-4時,
x2>3=
x1,則在區(qū)間(-∞,3)上,
,
f(
x)為減函數(shù);
在區(qū)間(3,-
a-1
)上
f (
x)為增函數(shù)。
在區(qū)間(-
a-1,+∞)
上
f (
x)為減函數(shù)。 (4分)
當
a>-4時,
x2<3=
x1,則在區(qū)間(-∞,-
a-1)上
f(
x)為減函數(shù);
在區(qū)間(-
a-1,3)上,
為增
函數(shù);
在區(qū)間(3
,+∞)上,
f(
x)
為減函數(shù)。 (6分)
⑵由①知,當
a>0時,
f(
x)在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,
那么
f(
x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[
min (
f (0),
f (4)),
f (3)],
而
f (0)=-(2
a+3)
e3<0,
f (4)=(2
a+13)
e-1>0,
f(3)=
a+6,
那么
f(
x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[-(2
a+3)
e3,
a+6], (8分)
又
g (
x)=
在區(qū)
間[0,4]上是增函數(shù),
且它在區(qū)間[0,4]上的值域是
(10分)
由于
所以只需
故
a的取值范圍是
。
(12分)
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若函數(shù)
在
內(nèi)有極大值,無極小值,則
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分13分)設函數(shù)
,已知
,且
,曲線
在x=1處取極值.
(Ⅰ)如果函數(shù)
的遞增區(qū)間為
,求
的取值范圍; (Ⅱ)如果當
是與
無關(guān)的常數(shù)
時,恒有
,求實數(shù)
的最小值
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
設函數(shù)
的圖象與y軸的交點為點P,且曲線在點P處的切線方程為
處取得極值0,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
設函數(shù)
,已
知
是奇函數(shù).
(Ⅰ)求
、
的值;
(Ⅱ)求
的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
設函數(shù)
(I)若當
時,
取得極值,求
的值,并討論
的單調(diào)性;
(II)若
存在極值,求
的取值范圍,并證明所有極值之和大于
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若函數(shù)
有極值,則實數(shù)m的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
f(
x)=
x3-3
bx+3
b在(0,1)內(nèi)有極小值,則 ( )
A.0<b<1 | B.b<1 | C.b>0 | D.b< |
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