Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對(duì)于任意且時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，分和，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由題意原不等式可變形為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，原題轉(zhuǎn)化為在上為單調(diào)增函數(shù)，即對(duì)恒成立，分離參數(shù)得到，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊函數(shù)的最值即可．

（1），

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上有，在為單調(diào)減函數(shù)；在上有，在為單調(diào)增函數(shù).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在為單調(diào)減函數(shù)，在為單調(diào)增函數(shù).

（2）∵恒成立，

∴恒成立，

令

題意即為恒成立，而，

故上述不等式轉(zhuǎn)化為在上為單調(diào)增函數(shù)，

即對(duì)恒成立；

，

題意即為不等式對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

則

令，

，在上為增函數(shù)，且；

于是在上有，在上有，

即函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以在處取得最小值，

因此，故實(shí)數(shù)的范圍為