Question

（2012•德州一模）設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)C₂：x2=4

2

y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=

3

3

，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線(xiàn)l，使得

OM

•

ON

=-1，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線(xiàn)l與橢圓必相交．分兩種情況討論：①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；②設(shè)存在直線(xiàn)l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線(xiàn)l的方程．

解答：解：（I）拋物線(xiàn)C：x2=4

2

y的焦點(diǎn)為（0，

2

）
∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)C₂：x2=4

2

y的焦點(diǎn)重合
∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，

2

），即b=

2

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

3

，∴a=

3

，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線(xiàn)l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，M（1，

2 3

3

），N（1，-

2 3

3

），∴

OM

•

ON

=1-

2

3

≠-1，不合題意．
②設(shè)存在直線(xiàn)l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將直線(xiàn)方程代入橢圓方程可得：（2+3k²）x²-6k²x+4k²-6=0，
∴x₁+x₂=

6k2

2+3k2

，x₁•x₂=

3k2-6

2+3k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

3k2-6

2+3k2

+k²（

3k2-6

2+3k2

-

6k2

2+3k2

+1）=

-k2-6

2+3k2

=-1
∴k=±

2

，
故直線(xiàn)l的方程為y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題重查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．