Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*）．若{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，b₃=6+b₂．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）設c_n=

1

an

-

1

bn

（n∈N^*）．記數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n．
  （i）求S_n；
  （ii）求正整數(shù)k，使得對任意n∈N^*均有S_k≥S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先利用前n項積與前（n-1）項積的關系，得到等比數(shù)列{a_n}的第三項的值，結合首項的值，求出通項a_n，然后現(xiàn)利用條件求出通項b_n；
（Ⅱ）（i）利用數(shù)列特征進行分組求和，一組用等比數(shù)列求和公式，另一組用裂項法求和，得出本小題結論；（ii）本小題可以采用猜想的方法，得到結論，再加以證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*） ①，
當n≥2，n∈N^*時，a1a2a3…an-1=(

2

)bn-1 ②，
由①②知：an=(

2

)bn-bn-1，
令n=3，則有a3=(

2

)b3-b2．
∵b₃=6+b₂，
∴a₃=8．
∵{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，
∴{a_n}的公比為q，則q2=

a3

a1

=4，
由題意知a_n＞0，∴q＞0，∴q=2．
∴an=2n（n∈N^*）．
又由a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*）得：
21×22×23…×2n=(

2

)bn，
2

n(n+1)

2

=(

2

)bn，
∴b_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅱ）（i）∵c_n=

1

an

-

1

bn

=

1

2n

-

1

n(n+1)

=

1

2n

-(

1

n

-

1

n+1

)．
∴S_n=c₁+c₂+c_3+…+c_n
=

1

2

-(

1

1

-

1

2

)+

1

22

-(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2n

-(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-(1-

1

n+1

)
=1-

1

2n

-1+

1

n+1

=

1

n+1

-

1

2n

；
（ii）因為c₁=0，c₂＞0，c₃＞0，c₄＞0；
當n≥5時，
cn=

1

n(n+1)

[

n(n+1)

2n

-1]，
而

n(n+1)

2n

-

(n+1)(n+2)

2n+1

=

(n+1)(n-2)

2n+1

＞0，
得

n(n+1)

2n

≤

5•(5+1)

25

＜1，
所以，當n≥5時，c_n＜0，
綜上，對任意n∈N^*恒有S₄≥S_n，故k=4．

點評：本題考查了等比數(shù)列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項式定理，還可以用數(shù)學歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學生有較高的分析問題解決問題的能力．本題屬于難題．