【題目】在四棱錐中, , , 都是邊長為2的等邊三角形,設(shè)在底面的投影為.

(1)求證: 的中點(diǎn);

(2)證明: ;

(3)求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3) .

【解析】試題分析:1, 由底面,得,點(diǎn)的外心,結(jié)合為是直角三角形即可證得;

(2)由(1)知,點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn),點(diǎn)中點(diǎn), 底面,得,再分析條件可證得,從而得,從而得證;

(3)以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在射線為軸 , 軸, 軸建系,利用兩個(gè)面的法向量求解二面角的余弦即可.

試題解析:

(1)證明:∵都是等邊三角形,

, 又∵底面,∴

則點(diǎn)的外心,又因?yàn)?/span>是直角三角形,∴點(diǎn)中點(diǎn).

(2)證明:由(1)知,點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn),點(diǎn)中點(diǎn),

底面,∴

∵在中, , , ∴,

,∴,從而

, ,∴.

(3)以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在射線為軸 , 軸, 軸建系如圖,

,則, ,

, , ,

設(shè)面的法向量為,則

,

,得.

設(shè)面的法向量為,則

,取,則,故,

于是

由圖觀察知為鈍二面角,所以該二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4.
(1)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別求圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司試銷一種成本單價(jià)為500元的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時(shí)銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),又不高于800元.經(jīng)試銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y()與銷售單價(jià)x()之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)ykxb(k≠0),函數(shù)圖象如圖所示.

(1)根據(jù)圖象,求一次函數(shù)ykxb(k≠0)的表達(dá)式;

(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià))S元.試問銷售單價(jià)定為多少時(shí),該公司可獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時(shí)的銷售量是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法中錯誤的是( )

A. 先把高二年級的2000名學(xué)生編號為1到2000,再從編號為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,其編號為,然后抽取編號為, 的學(xué)生,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法

B. 線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)

C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D. 若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2,則該組數(shù)據(jù)的方差是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠有工人1000名,為了提高工人的生產(chǎn)技能,特組織工人參加培訓(xùn).其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為類工人).現(xiàn)從該工廠的工人中共抽查了100名工人作為樣本,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力是指工人一天加工的零件數(shù)),得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖(圖1),類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖(圖2).

(1)在樣本中求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù),并估計(jì)類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀,現(xiàn)以樣本中頻率作為概率,從1000名工人中按分層抽樣共抽取名工人進(jìn)行調(diào)查,請估計(jì)這名工人中的各類人數(shù),完成下面的列聯(lián)表.

若研究得到在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長短有關(guān),則的最小值為多少?

參考數(shù)據(jù):

參考公式: ,其中.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn), 若點(diǎn)在橢圓上,則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),試求的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)在[0,2]上得單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m=0,k∈R時(shí),求函數(shù)g(x)=f(x)﹣kx2在R上零點(diǎn)個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知函數(shù)f(x)=sinx+ cosx(x∈R),先將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到的圖象關(guān)于直線x= 對稱,則θ的最小值為( )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;

(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案