【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)， ，若點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，試求的面積.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由已知得，又，即可得方程；

（2）設(shè)，則，由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，得，即，由，消除整理得： ，結(jié)合韋達(dá)定理可得， ，講條件帶入求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）由已知得，又 ，

所以橢圓的方程為： ；

（Ⅱ）設(shè)，則，

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，得，

即（1）

由，消除整理得： ，

由，得，

而（2）

（3）

將（2）（3）代入（1）得： ，

即，

又，

原點(diǎn)到直線的距離，

，

把代入上式得，即的面積是為.

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（2）求證：平面平面；

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（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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