【題目】已知, 分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列, , 的前項和為.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,有,且是函數(shù)的零點.
(1)求的值;
(2)若數(shù)列公差為,且點,當(dāng)時所有點都在指數(shù)函數(shù)的圖象上.
請你求出解析式,并證明: .
【答案】(1),(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出,由,得,從而可得,求出函數(shù)的零點,進而可得的值;(2)根據(jù)(1),可求出等差數(shù)列列的通項公式,由點,當(dāng)時所有點都在指數(shù)函數(shù)的圖象上可得,即, 取特殊值列方程組可求得,從而可得,利用等比數(shù)列的求和公式及放縮法可證明結(jié)論.
試題解析:(1)由得,又,所以
∴.
∵的零點為,而是的零點,又是等比數(shù)列的首項,所以, ,
∴.
(2)∵,
令的公比為,則.
又都在指數(shù)函數(shù)的圖象上,即,即當(dāng)時恒成立,
解得.所以.
∵,
因為,所以當(dāng)時, 有最小值為,所以.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)判斷并證明f(x)的奇偶性;
(2)求證: ;
(3)已知a,b∈(﹣1,1),且 , ,求f(a),f(b)的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga (a>0,a≠1,m≠﹣1),是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù).
(1)求f(0)的值和實數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=1時,判斷函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并給出證明.
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【題目】函數(shù)f(x)=ax2+2(a﹣3)x+1在區(qū)間[﹣2,+∞)上遞減,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3]
B.[﹣3,0]
C.[﹣3,0)
D.[﹣2,0]
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值.
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件,若金箠由粗到細是依次等量減小的,則正中間一尺的重量為________.
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【題目】盒中有6只燈泡,其中有2只是次品,4只是正品.從中任取2只,試求下列事件的概率.
(Ⅰ)取到的2只都是次品;
(Ⅱ)取到的2只中恰有一只次品.
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【題目】在一次水下考古活動中,某一潛水員需潛水50米到水底進行考古作業(yè),其用氧量包含以下三個方面:
①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘的用氧量為升;
②水底作業(yè)時間范圍是最少10分鐘最多20分鐘,每分鐘用氧量為0.3升;
③返回水面時,平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為0.32升;潛水員在此次考古活動中的總用氧量為升.
(1)如果水底作業(yè)時間是10分鐘,將表示為的函數(shù);
(2)若,水底作業(yè)時間為20分鐘,求總用氧量的取值范圍;
(3)若潛水員攜帶氧氣13.5升,請問潛水員最多在水下多少分鐘(結(jié)果取整數(shù))?
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【題目】如圖,橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個不同的交點P,Q,l與矩形ABCD有兩個不同的交點S,T.求 的最大值及取得最大值時m的值.
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