Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga （a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)．
（1）求f（0）的值和實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（0）=loga1=0．

因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，

所以：f（﹣x）=﹣f（x）f（﹣x）+f（x）=0

∴l(xiāng)oga +loga =0；

∴l(xiāng)oga =0 =1，

即∴1﹣m2x2=1﹣x2對(duì)定義域內(nèi)的x都成立．∴m2=1．

所以m=1或m=﹣1（舍）

∴m=1．

（2）解：∵m=1

∴f（x）=loga ，

∴t= ，

設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，則t1﹣t2= ﹣ = ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0

∴t1＞t2．

當(dāng)a＞1時(shí)，logat1＞logat2，即f（x1）＞f（x2）．

∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（﹣1，1）上是減函數(shù)．

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)

【解析】（1）f（0）=loga1=0，利用奇函數(shù)的定義，即可求出實(shí)數(shù)m的值；（2）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=loga ，t= ，判斷其單調(diào)性，即可判斷與證明函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的理解，了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．