【題目】如圖☆的曲線,其生成方法是(I)將正三角形(圖(1))的每邊三等分,并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形,然后去掉底邊,得到圖(2);(II)將圖(2)的每邊三等分,重復上述的作圖方法,得到圖(3);(III)再按上述方法繼續(xù)做下去,所得到的曲線稱為雪花曲線(Koch Snowflake)

123.

設圖(1)的等邊三角形的邊長為1,并且分別將圖(1)、(2)、(3中的圖形依次記作M1、M2M3、

1)設中的邊數(shù)為中每條邊的長度為,寫出數(shù)列的遞推公式與通項公式;

2)設的周長為,所圍成的面積為,求數(shù)列{}{}的通項公式;請問周長與面積的極限是否存在?若存在,求出該極限,若不存在,簡單說明理由.

【答案】1;; 2;;周長的極限不存在,面積的極限為.

【解析】

1)根據(jù)題意,結(jié)合圖形的變換,分別得出數(shù)列的遞推關(guān)系式,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,即可求解;

2)根據(jù)圖象的變換規(guī)律,得出數(shù)列的遞推關(guān)系式,結(jié)合疊加法和數(shù)列的極限,即可求解.

1)由題意,可得數(shù)列的遞推關(guān)系式為,

所以數(shù)列構(gòu)成首項為,公比為4的等比數(shù)列,

所以其通項公式為

又由每個圖形的邊長都相等,且長度變?yōu)樵瓉淼?/span>,

所以邊長滿足遞推關(guān)系式,

即數(shù)列構(gòu)成首項為1,公比為的等比數(shù)列,

所以數(shù)列的圖通項公式為

2)觀察發(fā)現(xiàn),第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的,第三個圖形在第二個的周長的基礎上,多了周長的,第四個圖形在第三個的周長的基礎上,多了周長的,依次類推,

可得周長滿足遞推關(guān)系式,

所以數(shù)列構(gòu)成首項為3,公比為的等比數(shù)列,

所以數(shù)列的通項公式為,

由第一個三角形的面積,

時,,

.

又由極限的運算法則,可得,所以周長的極限不存在;

,即面積的極限為.

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