Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有共同的切線，求的值；

（2）證明：；

（3）若不等式對(duì)所有，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)．

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；(2)依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求；（3）先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求.

試題解析：

（1），，，

與在點(diǎn)處有共同的切線，

，即，……………………………4分

（2）令，則，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

的最大值為，的最小值是，…………………………6分

設(shè)，，

故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，

；………………………8分

（3）不等式對(duì)所有的，都成立，

則對(duì)所有的，都成立，

令，，是關(guān)于的一次函數(shù)，

，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，

即，當(dāng)時(shí)，恒成立，故．……………………………12分