Question

【題目】如圖，矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖，點(diǎn)E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點(diǎn)P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線(xiàn)段DE（含端點(diǎn)）上，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方，經(jīng)測(cè)量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN= ，記∠EPM=θ（弧度），監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出θ的取值范圍：（參考數(shù)據(jù)：tan ≈3）
（2）求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM= ，∠PME= ，

由正弦定理可得PM= = ，

同理，在△PNE中，PN= ，

∴S△PMN= = = ，

M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，tan∠APD=3，即θ= ，

∴0≤θ≤ ，

綜上所述，S△PMN= ，0≤θ≤ ；

（2）解：當(dāng)2θ+ = 即 時(shí)，S取得最小值 =8（ ﹣1）平方米．
【解析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，M與E重合時(shí)，θ=0，N與D重合時(shí)，tan∠APD=3，即θ= ，即可寫(xiě)出θ的取值范圍；（2）當(dāng)2θ+ = 即 時(shí)，S取得最小值．