Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于點(diǎn).

（1）記直線(xiàn)，的斜率分別為，，證明：為定值；

（2）記的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果；

（2）首先得出切線(xiàn)，的方程，求出，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得結(jié)果.

（1）證明：因?yàn)?/span>，兩點(diǎn)在曲線(xiàn)上，故設(shè)，的坐標(biāo)分別為，.

因?yàn)?/span>，所以，則，.

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則其方程為，由得，

，，，

所以，所以為定值.

（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

由（1）知切線(xiàn)的方程為①

切線(xiàn)的方程為②，

①②得；

①②得.

由（1）知，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

所以.

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.