Question

【題目】已知圓：，直線：.

（1）求直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值；

（3）已知點(diǎn)，在直線（為圓心）上存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及該常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），2

【解析】

（1）把直線方程整理為關(guān)于的恒等式，由恒等式知識(shí)可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）定點(diǎn)在圓內(nèi)，因此在時(shí)弦長(zhǎng)最短，由此可得值；

（3）直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，設(shè)，把結(jié)合在圓上整理為關(guān)于的恒等式，從而求得，得點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）依題意得，

令且，得，

直線過定點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知，

，得，由得.

（3）由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，

則設(shè)，，得，且

整理得，

上式對(duì)任意恒成立，且

解得，說以，（舍去，與重臺(tái)），，

綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)2