Question

如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點(diǎn),且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各邊長(zhǎng)度確定，故可利用勾股定理證明垂直關(guān)系
，進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的判定定理可證明平面；(Ⅱ)方法一（向量法）：根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求面的法向量和直線(xiàn)的方向向量，其夾角余弦值的絕對(duì)值即直線(xiàn)和平面所成角的正弦值；方法二（綜合法）：過(guò)點(diǎn)作于,則易證平面,所以為直線(xiàn)與平面所成的角，進(jìn)而在求角.
試題解析：(Ⅰ)由翻折不變性可知,,, 在中,,所以，在圖中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)方法一:以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,
,,所以,,, 設(shè)平面的法向量為,則,即,解得，令,得,設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為,則.
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.
方法二:過(guò)點(diǎn)作于,由(Ⅰ)知平面,而平面，所以,又,平面,平面,所以平面,所以為直線(xiàn)與平面所成的角. 在中, ，在中,由等面積公式得，在中,，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.