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對于定義在區(qū)間D上的函數，若存在閉區(qū)間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區(qū)間D上的“平底型”函數.

（Ⅰ）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？    并說明理由；

（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若函數是區(qū)間上的“平底型”函數，求和的值.

（Ⅰ）是“平底型”函數，不是“平底型”函數

        （Ⅱ）（Ⅲ）m＝1，n＝1


解析:

（1）對于函數，當時，.

當或時，恒成立，故是“平底型”函數（2分）

對于函數，當時，；當時，.

所以不存在閉區(qū)間，使當時，恒成立.

故不是“平底型”函數.                           （4分）

（Ⅱ）若對一切R恒成立，則.

因為，所以.又，則.（6分）

因為，則，解得.

故實數的范圍是.                                （8分）

（Ⅲ）因為函數是區(qū)間上的“平底型”函數，則

存在區(qū)間和常數，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或.   （10分）

當時，.

當時，，當時，恒成立.

此時，是區(qū)間上的“平底型”函數.           （11分）

當時，.

當時，，當時，.

此時，不是區(qū)間上的“平底型”函數.           （12分）

綜上分析，m＝1，n＝1為所求.                       （13分）

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間D上的函數f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＞c恒成立，則稱函數f（x）為區(qū)間D上的“平底型”函數．
（Ⅰ）判斷函數f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；
（Ⅱ）設f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，求實數x的取值范圍；
（Ⅲ）若函數g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數，求m和n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•成都二模）對于定義在區(qū)間D上的函數f（x），若滿足對?x1，x2∈D，且x1＜x2時都有 f（x1）≥f（x2），則稱函數f（x）為區(qū)間D上的“非增函數”．若f（x）為區(qū)間[0，1]上的“非增函數”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又當x∈[0，
1
4
]時，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命題：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②當x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，時，f（x1）≠f（x）
③?x∈[
1
4
，
3
4
]時，都有f(x)=
1
2

④函數f（x）的圖象關于點(
1
2
，
1
2
)對稱
其中你認為正確的所有命題的序號為
①③④
①③④
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•鹽城一模）對于定義在區(qū)間D上的函數f（x），若任給x0∈D，均有f（x0）∈D，則稱函數f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）試判斷f（x）=x-1在區(qū)間[-2.1]上是否封閉，并說明理由；
（1）若函數g（x）=
3x+ax+1
在區(qū)間[3，10]上封閉，求實數a的取值范圍；
（1）若函數h（x）=x3-3x在區(qū)間[a，b[（a，b∈Z）上封閉，求a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•綿陽三模）對于定義在區(qū)間D上的函數f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數c，．使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＜c恒成立，則稱函數f（X）為區(qū)間D上的“平頂型”函數．給出下列說法：
①“平頂型”函數在定義域內有最大值；
②“平頂型”函數在定義域內一定沒有最小值；
③函數f（x）=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數；
④函數f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數．
則以上說法中正確的是
①③
①③
．（填上你認為正確結論的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•綿陽三模）對于定義在區(qū)間D上的函數f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當x2∉[a，b]時，f（x2）＜c恒成立，則稱函數f（x）為區(qū)間D上的“平頂型”函數．給出下列說法：
①“平頂型”函數在定義域內有最大值；
②函數f（x）=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數；
③函數f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數；
④當t≤
3
4
時，函數，f(x)=
2，(x≤1)
log
1
2
(x-t)，(x＞1)
是區(qū)間[0，+∞）上的“平頂型”函數．
其中正確的是
①②④
①②④
．（填上你認為正確結論的序號）

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