Question

（2012•綿陽三模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)c，使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當x₂∉[a，b]時，f（x₂）＜c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列說法：
①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；
②函數(shù)f（x）=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)；
④當t≤

3

4

時，函數(shù)，f(x)=

2，(x≤1) log 1 2 (x-t)，(x＞1)

是區(qū)間[0，+∞）上的“平頂型”函數(shù)．
其中正確的是

①②④

．（填上你認為正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)某個子集區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為常數(shù)c，且這個常數(shù)是函數(shù)的最大值，但是定義并沒有指出函數(shù)最小值的情況．由此定義再結(jié)合絕對值的性質(zhì)和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于四個選項逐個加以判斷，即得正確答案．

解答：解：對于①，根據(jù)題意，“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)某個子集區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為常數(shù)c，且這個常數(shù)是函數(shù)的最大值，故①正確．
對于②，函數(shù)f（x）=x-|x-2|=

2x-2 ，  x＜2 2 ， x≥2

，當且僅當x∈[2，+∞）時，函數(shù)的最大值為2，符合“平頂型”函數(shù)的定義，故②正確．
對于③，函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|=

2sinx ， x∈[2kπ-π ，2kπ] 0 ， x∈[2kπ ，2kπ+π]

，但是不存在區(qū)間[a，b]，對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=2，
所以f（x）不是“平頂型”函數(shù)，故③不正確．
對于④當t≤

3

4

時，函數(shù)，f(x)=

2，(x≤1) log 1 2 (x-t)，(x＞1)

，當且僅當x∈（-∞，1]時，函數(shù)的最大值為2，符合“平頂型”函數(shù)的定義，故④正確．
故答案為 ①②④．

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)的最值及其幾何意義、帶絕對值的函數(shù)和正弦函數(shù)的定義域值域等知識點，屬于中檔題．