【題目】已知圓C1:x2+y2=r2(r>0)與直線l0:y= 相切,點(diǎn)A為圓C1上一動(dòng)點(diǎn),AN⊥x軸于點(diǎn)N,且動(dòng)點(diǎn)M滿足 ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程;
(2)若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,求線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x軸于點(diǎn)N.∴N(x0,0).
又圓 與直線 即 相切,∴ .
∴圓 .
由題意, ,得 ,
∴ .
∴ ,
即∴
將 代入x2+y2=9,得曲線C的方程為 .
(2)⑴假設(shè)直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立 ,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.
由求根公式得 .(*)
∵以PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,∴ .即 .
∴x1x2+y1y2=0.即∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.
化簡(jiǎn)可得, .
將(*)代入可得 ,即3m2﹣8k2﹣8=0.
即 ,又 .
將 代入,可得
= .
∴當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)等號(hào)成立.又由 ,∴ ,
∴ .
⑵若直線l的斜率不存在,因以PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,故可設(shè)OP所在直線方程為y=x,
聯(lián)立 解得 ,同理求得 ,
故 .綜上,得 .
【解析】1、由求軌跡方程的方法可設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x軸于點(diǎn)N.∴N(x0,0)根據(jù)題意可得
圓 . += ( 2 2 2 ) ,得 ( x , y ) + 2 ( x x 0, y y 0 ) = ( 2 2 2 ) ( x 0 , 0 ) ,
∴ .聯(lián)立方程可得,將點(diǎn)A代入雙曲線的方程的
2、假設(shè)存在這樣的直線設(shè)其方程為y=kx+m,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立 ,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.
由求根公式得,由題意可得,,∴x1x2+y1y2=0.即∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即 由題意可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立即。若直線l的斜率不存在,因以PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,故可設(shè)OP所在直線方程為y=x,聯(lián)立方程可得同理求得故得結(jié)果。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 滿足 .
(1)求a1及通項(xiàng)公式an;
(2)若 ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn , 已知a1a2a3=8,S2n=3(a1+a3+a5+…+a2n﹣1)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=(﹣1)nlog2an , 求數(shù)列{bn}的前2017項(xiàng)和T2017 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等腰直角三角形,且斜邊 ,側(cè)棱AA1=2,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AA1上,AE=λAA1(λ為實(shí)數(shù)).
(1)求證:不論λ取何值時(shí),恒有CD⊥B1E;
(2)當(dāng) 時(shí),記四面體C1﹣BEC的體積為V1 , 四面體D﹣BEC的體積為V2 , 求V1:V2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)A(0,1),B(2,﹣1),點(diǎn)C在雙曲線M: ﹣y2=1上,則使△ABC的面積為3的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為( 。
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=a(x﹣1)2﹣xe2﹣x .
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與x軸平行,求a的值;
(Ⅱ)若 ,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn).直線y=6x與C的交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線l,D為l 上異于點(diǎn)B的一點(diǎn),以BD為直徑作圓E.
(1)求C 的方程;
(2)若直線AD與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,證明PF與圓E相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 分別為 內(nèi)角的對(duì)邊 , .
(1)若 為 的中點(diǎn),求 ;
(2)若 ,判斷 的形狀,并說(shuō)明理由.
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