Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）為偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=log4（a2x﹣a）有且只有一個根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I） 由題意得f（﹣x）=f（x），
即，
化簡得=2kx，
從而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴k=-
（II）由題意，原方程化為且a2x﹣a＞0
即：令2x=t＞0
函數(shù)y=（1﹣a）t2+at+1的圖象過定點(diǎn)（0，1），（1，2）如圖所示：
若方程（1）僅有一正根，只有如圖的三種情況，
可見：a＞1，即二次函數(shù)y=（1﹣a）t2+at+1的
開口向下都可，且該正根都大于1，滿足不等式（2），
當(dāng)二次函數(shù)y=（1﹣a）t2+at+1的開口向上，
只能是與x軸相切的時(shí)候，
此時(shí)a＜1且△=0，即a=-2-2也滿足不等式（2）
綜上：a＞1或a=-2-2

【解析】（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根據(jù)方程有且只有一個實(shí)根，化簡可得有且只有一個實(shí)根，令t=2x＞0，則轉(zhuǎn)化成新方程有且只有一個正根，結(jié)合函數(shù)的圖象討論a的取值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．