Question

（1）若

1

4

t2-kt-1≤0在t∈[-1，1]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍，
（2）若

1

4

t2-kt-1≤0在k∈[-1，1]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據題意，要使不等式恒成立，需二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點即△＞0，同時f（-1），f（1）均大于等于0，最后解不等式取交集即可．
（2）對不等式進行轉換，對于t進行分類討論，最后解不等式得到答案．

解答： 解：（1）依題意得

△=k2+1＞0 f(-1)= 1 4 +k-1≤0 f(1)= 1 4 -k-1≤0

，解得-

3

4

≤k≤

3

4

．
（2）∵

1

4

t2-kt-1≤0，
∴kt≥

1

4

t2-1，
①當t=0時，0≥-1，恒成立，符合條件，
②當t＞0時，則k≥

1

4

t-

1

t

，要使k∈[-1，1]上恒成立，需-1≥

1

4

t-

1

t

，解得t的解集為∅，
③當t＜0時，k≤

1

4

t-

1

t

，要使k∈[-1，1]上恒成立，需

1

4

t-

1

t

≥1，解得2-2

2

＜t＜0，
綜合可知t的取值范圍為（2-2

2

，0]．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質，不等式相關知識，解不等式組等知識．解題的關鍵是根據題意組建不等式組．