Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD= =
∵側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系

則A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，則由四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形知，M點(diǎn)一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD= ，從而解得SM= ，故可得S（ ，0， ）
則
設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為
則 ，
即
取x=0，y= ，z=1
即平面SBC的一個(gè)法向量為 =（0， ，1）
又 =（0，2，0）
cos＜ ， ＞= = =
∴＜ ， ＞=arccos
即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin
【解析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過(guò)程中運(yùn)用勾股定理即可（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量 ，當(dāng) 為銳角時(shí)，所求的角即為它的余角；當(dāng) 為鈍角時(shí)，所求的角為
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則即可以解答此題．