Question

1．已知點(diǎn)A、B、C為直線l上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O∉l，實(shí)數(shù)x滿足關(guān)系式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（　　）
①$\overrightarrow{OB}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$≥0           ②$\overrightarrow{OB}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$＜0
③x的值有且只有一個(gè)    ④x的值有兩個(gè)        
 ⑤點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用平面向量基本定理對(duì)已知向量等式變形分析由存在實(shí)數(shù)x滿足式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，得到△≥0，得出①正確、②錯(cuò)誤；
同時(shí)得到得出式$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，根據(jù)平面向量的基本定理，得出-x²-2x=1，判斷③正確、④錯(cuò)誤；
由式$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），得出B是線段AC的中點(diǎn)，判斷⑤正確．

解答 解：對(duì)于①，由存在實(shí)數(shù)x滿足式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，△≥0，得出①正確、②錯(cuò)誤；
由式x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，得出式$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，根據(jù)平面向量的基本定理，得出-x²-2x=1，判斷③正確、④錯(cuò)誤；
由式$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），得出B是線段AC的中點(diǎn)，判斷⑤正確．
所以正確結(jié)論為③⑤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了一元二次方程有實(shí)數(shù)根的應(yīng)用問題，是綜合性題目．