Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，則f（2016）=（　　）

• A． $\frac{1}{2016}$
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{2017}{2016}$
• D． $\frac{4033}{2016}$

Answer 1

分析 由條件f（x）是定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)以及f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，可知f（x）-$\frac{1}{x}$等于常數(shù)a，即f（x）=$\frac{1}{x}+a$，再利用f（a）=2，解出a=1，故f（x）=$\frac{1}{x}$+1，代入x=2016，即可計算出答案．

解答 ∵f（x）是定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，
∴存在唯一的正實數(shù)a，使得f（a）=2，
∵對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，
∴f（x）-$\frac{1}{x}$=a，即f（x）=$\frac{1}{x}$+a，
∵f（a）=2，∴$\frac{1}{a}$+a=2，得a=1（舍負(fù)），
∴f（x）=$\frac{1}{x}+1$，
∴f（2016）=$\frac{1}{2016}$+1=$\frac{2017}{2016}$．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)的單調(diào)性確定f（x）-$\frac{1}{x}$等于常數(shù)a是解決本題關(guān)鍵，再利用f（a）=2求出函數(shù)的解析式，從而解決問題．