【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,.

(I)證明:;

(II)若,求直線與平面所成角的余弦值.

【答案】(I)見解析; (II) .

【解析】

(I)連接于點(diǎn),連接,通過證明以及,證得平面,由此證得,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知.(II)先證得平面,由此以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算直線的方向向量以及平面的法向量,由此求得線面角的正弦值,進(jìn)而求得余弦值.

(I)證明:連接于點(diǎn),連接,

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形,所以中點(diǎn),

所以平面

平面,

中點(diǎn),的垂直平分線,

(II)已知,故

由(I)知,

平面

故以為原點(diǎn),、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

、、

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

,設(shè)

設(shè)直線與平面所成角為

故直線與平面所成角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下圖是某市年至年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的條形圖.

(1)若從年到年的五年中,任意選取兩年,則這兩年的投資額的平均數(shù)不少于億元的概率;

(2)為了預(yù)測(cè)該市年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)年至年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型①:;根據(jù)年至年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型②:

(i)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;

(ii)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】先后拋擲一枚骰子兩次,將出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為.

1)設(shè)向量,求的概率;

2)求在點(diǎn)數(shù)之和不大于5的條件下,中至少有一個(gè)為2的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn),圓的方程為,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn).

1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;

2)過點(diǎn)能否作一條直線,與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.

1)求拋物線的方程;

2)點(diǎn)是拋物線上異于的任意一點(diǎn),直線、與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、,求證:為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】[2019·武漢六中]袋子中有四個(gè)小球,分別寫有“武、漢、軍、運(yùn)”四個(gè)字,從中任取一個(gè)小球,有放回抽取,直到取到“軍”“運(yùn)”二字就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率:利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表“軍、運(yùn)、武、漢”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下16組隨機(jī)數(shù):

232 321 230 023 123 021 132 220

231 130 133 231 331 320 122 233

由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定點(diǎn)M(-3,0),Q、P分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn),且使MP⊥PQ,點(diǎn)N在直線PQ上,

(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程.

(2)過點(diǎn)T(-1,0)作直線l與軌跡C交于兩點(diǎn)A、B,問:在x軸上是否存在一點(diǎn)D,使△ABD為等邊三角形;若存在,試求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】手機(jī)作為客戶端越來越為人們所青睞,通過手機(jī)實(shí)現(xiàn)衣食住行消費(fèi)已經(jīng)成為一種主要的消費(fèi)方式.在某市,隨機(jī)調(diào)查了200名顧客購物時(shí)使用手機(jī)支付的情況,得到如下的2×2列聯(lián)表,已知從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取1人,抽到青年的概率為.

(I)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“市場(chǎng)購物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”?

2×2列聯(lián)表:

青年

中老年

合計(jì)

使用手機(jī)支付

120

不使用手機(jī)支付

48

合計(jì)

200

(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”抽取一個(gè)容量為10的樣本,再從中隨機(jī)抽取3人,求這三人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)的分布列及期望.

附:

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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