【題目】已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關(guān)于原點的對稱點為，直線交于點.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點，且，求點的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據(jù)的周長為，結(jié)合離心率，求出，即可求出方程；

（2）設(shè)，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標(biāo)，直接驗證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點坐標(biāo)，根據(jù)和三點共線，將點坐標(biāo)用表示，坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.

（1）因為橢圓的離心率為，的周長為6，

設(shè)橢圓的焦距為，則

解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）設(shè)，則，且，

所以的方程為①.

若，則的方程為②，由對稱性不妨令點在軸上方，

則，，聯(lián)立①，②解得即.

的方程為，代入橢圓方程得

，整理得，

或，.

，不符合條件.

若，則的方程為，

即③.

聯(lián)立①，③可解得所以.

因為，設(shè)

所以，即.

又因為位于軸異側(cè)，所以.

因為三點共線，即應(yīng)與共線，

所以，即，

所以，又，

所以，解得，所以，

所以點的坐標(biāo)為或.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.

（1）當(dāng)， 時，若點都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，探究是否滿足，并說明理由.

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【題目】已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線與拋物線交于，兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點．

（1）若點的坐標(biāo)為，求的值；

（2）設(shè)線段的中點為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于，兩點，求的取值范圍．

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（Ⅰ）證明直線恒過定點，并寫出直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線與曲線交于，兩點，求的值．

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【題目】已知數(shù)列滿足，．

（1）求；

（2）若，證明：數(shù)列中的任意三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列．

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【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.

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【題目】如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分別是棱，上的動點，且，，．

（1）證明：無論點怎樣運(yùn)動，四邊形都為矩形；

（2）當(dāng)時，求幾何體的體積.

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【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的短軸長為4，離心率為，斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點（，異于橢圓的頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線是否過定點，如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由.

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