Question

對(duì)于數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”．定義變換T，T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1．設(shè)A₀是“0-1數(shù)列”，令A(yù)_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（Ⅰ） 若數(shù)列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求數(shù)列A₁，A₀；
（Ⅱ） 若數(shù)列A₀共有10項(xiàng)，則數(shù)列A₂中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請說明理由；
（Ⅲ）若A₀為0，1，記數(shù)列A_k中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為l_k，k=1，2，3，…求l_k關(guān)于k的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（I）由變換T的定義“T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．”直接可得數(shù)列A₁，A₀；
（II）數(shù)列A₀中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有10對(duì)，對(duì)于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”A₀，A₀中每一個(gè)1在A₂中對(duì)應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1，0，0，1，在A₀中每一個(gè)0在A₂中對(duì)應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0，1，1，0，因此，共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”A₀中的每一個(gè)項(xiàng)在A₂中都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)；
（III）設(shè)A_k中有b_k個(gè)01數(shù)對(duì)，A_k+1中的00數(shù)對(duì)只能由A_k中的01數(shù)對(duì)得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，討論k的奇偶可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）由變換T的定義可得A₁：0，1，1，0，0，1…（2分）A₀：1，0，1…（4分）
（Ⅱ） 數(shù)列A₀中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有10對(duì)                    …（5分）
證明：對(duì)于任意一個(gè)“0-1數(shù)列”A₀，A₀中每一個(gè)1在A₂中對(duì)應(yīng)連續(xù)四項(xiàng)1，0，0，1，在A₀中每一個(gè)0在A₂中對(duì)應(yīng)的連續(xù)四項(xiàng)為0，1，1，0，
因此，共有10項(xiàng)的“0-1數(shù)列”A₀中的每一個(gè)項(xiàng)在A₂中都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)，
所以A₂中至少有10對(duì)連續(xù)相等的數(shù)對(duì)．…（8分）
（Ⅲ） 設(shè)A_k中有b_k個(gè)01數(shù)對(duì)，A_k+1中的00數(shù)對(duì)只能由A_k中的01數(shù)對(duì)得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有2^k+1個(gè)，
所以b_k+1=l_k+2^k，
所以l_k+2=l_k+2^k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1
所以l₁=1，l₂=1，
當(dāng)k≥3時(shí)，
若k為偶數(shù)，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2=

1(1-4 k 2 )

1-4

=

1

3

(2k-1)，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=2時(shí)，也滿足lk=

1

3

(2k-1)．
若k為奇數(shù)，l_k=l_k-2+2^k-2l_k-2=l_k-4+2^k-4…l₃=l₁+2．
上述各式相加可得lk=1+2+23+…+2k-2=1+

2(1-4 k-1 2 )

1-4

=

1

3

(2k+1)，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=1時(shí)，也滿足lk=

1

3

(2k+1)．
所以lk=

1 3 (2k+1)，k為奇數(shù) 1 3 (2k-1)，k為偶數(shù)

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的概念及簡單表示法，以及數(shù)列的求和，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于中檔題．