Question

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)．

（1）設(shè)點(diǎn)是橢圓C上的點(diǎn)，且F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），試寫出橢圓C的方程；

（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程；

（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為，試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)。理由如下：因過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故可設(shè)，，，則，，即．

因為、、在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程即，，兩式相減得

，所以即，

故的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)。

【解析】

試題分析：（1）計算橢圓C上點(diǎn)到兩點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）的距離和為4，根據(jù)橢圓的定義知和，再由即可求出，，即可寫出橢圓C的方程；（2）確定的中點(diǎn)，與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，把的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)出的坐標(biāo)，代入方程，由兩點(diǎn)式寫出與所在直線的斜率，作積后把點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，整理后可得要證明的結(jié)論．

試題解析：（1）由于點(diǎn)是橢圓C上的點(diǎn)，故，即．

又因為，所以，所以橢圓C的方程為．

（2）設(shè)的中點(diǎn)，則點(diǎn)，把的坐標(biāo)代入橢圓方程中得

，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．

（3）的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)。

理由如下：因過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故可設(shè)，，

，則，，即．

因為、、在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程即，，兩式相減得

，所以即，

故的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)。

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．