【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(2,m)為其上一點(diǎn),且|MF|=4.
(1)求p與m的值;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),求直線OA、OB的斜率之積.

【答案】
(1)解:拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為

由拋物線定義知:點(diǎn)M(2,m)到F的距離等于M到準(zhǔn)線的距離,

,

∴p=4,拋物線C的方程為y2=8x

∵點(diǎn)M(2,m)在拋物線C上,

∴m2=16,即m=±4

∴p=4,m=±4


(2)證明:由(1)知:拋物線C的方程為y2=8x,焦點(diǎn)為F(2,0)

若直線l的斜率不存在,

則其方程為:x=2,代入y2=8x,

易得:A(2,4),B(2,﹣4),

從而 ;

若直線l的斜率存在,設(shè)為k(k≠0),則其方程可表示為:y=k(x﹣2),

,消去x,得: ,

即ky2﹣8y﹣16k=0(k≠0),△=64+64k2>0

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

,

從而

綜上所述:直線OA、OB的斜率之積為﹣4


【解析】(1)求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義,可得p的方程,求得p和拋物線的方程,以及m的值;(2)求出拋物線的焦點(diǎn),討論直線l的斜率不存在,求得交點(diǎn)A,B,可得斜率之積;直線l的斜率存在,設(shè)為k(k≠0),則其方程可表示為:y=k(x﹣2),聯(lián)立拋物線的方程,消去x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,計(jì)算即可得到所求之積.

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喜歡打籃球

不喜歡打籃球

合計(jì)

男生

5

女生

10

合計(jì)

已知在這50人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為
(Ⅰ)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(Ⅱ)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡打籃球與性別有關(guān)?
附:K2=

p(K2≥k0

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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