(12分)已知圓
的方程為
,橢圓
的方程
,且離心率為
,如果
與
相交于
兩點,且線段
恰為圓
的直徑.
(Ⅰ)求直線
的方程和橢圓
的方程;
(Ⅱ)如果橢圓
的左、右焦點分別是
,橢圓上是否存在點
,使得
,如果存在,請求點
的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由.
(Ⅰ) 解法一:若直線
斜率不存在,則直線
的方程為
,由橢圓的對稱性可知,
,
兩點關(guān)于
軸對稱,A,B的中點為(4,0),又線段
AB恰為圓
的直徑,則圓心為(4,0),這與已知圓心為(4,1)矛盾,因此直線
斜率存在,…………1分
所以可設(shè)
AB直線方程為
,且設(shè)
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2),
設(shè)橢圓方程
,…………………2分
將
AB直線方程為
代入到橢圓方程得
,即
(1),………………………………4分
,解得
,故直線
AB的方程為
,…………6分
將
代入方程(1)得5
x2-40
x+100-4
b2=0.
,
,得
. …………………………………7分
=
,得
,解得
b2=9..
故所求橢圓方程為
. ………………………………………………8分
解法二:
設(shè)橢圓方程
,…………1分
又設(shè)
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2),則
,
又
,兩式相減,得
,……3分
即(
x1+
x2)(
x1-
x2)+4(
y1+
y2)(
y1-
y2)=0,
.
若
,直線
的方程為
,由橢圓的對稱性可知,
,
兩點關(guān)于
軸對稱,A,B的中點為(4,0),又線段
AB恰為圓
的直徑,則圓心為(4,0),這與已知圓心為(4,1)矛盾,所以
.
因此直線
斜率存在,且
=-1,故直線
AB的方程為
, ……5分
代入橢圓方程,得5
x2-40
x+100-4
b2="0" . ………………………………6分
,
,得
.……………………7分
|
AB|=
,
得
,解得
b2=9.故所求橢圓方程為
. ……8分
(Ⅱ)因為
的中點是原點
,
所以
,所以
與
共線, …………………10分,
而直線
AB的方程為
y=-
x+5,所以直線
所在的直線方程為
y=-
x.
,
或
.
所以P點坐標(biāo)為
,
. …………………12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)
分別是橢圓
的左、右焦點,過
的直線
與橢圓
相交于A,B兩點,直線
的傾斜角為
,
到直線
的距離為
.
(1)求橢圓
的焦距;
(2)如果
,求橢圓
的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,點
A、
B分別是橢圓
長軸的左、右端點,點
F是橢圓的右焦點,點
P在橢圓上,且位于
軸上方,
.
(1)求點
P的坐標(biāo);
(2)設(shè)
M是橢圓長軸
AB上的一點,
M到直線
AP的距離等于
,求橢圓上的點到點
M的距離
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓
的左、右兩個焦點分別為F
1、F
2,離心率為
,且拋物線
與橢圓C
1有公共焦點F
2(1,0)。
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)設(shè)A、B為橢圓上的兩個動點,
,過原點O作直線AB的垂線OD,垂足為D,求點D為軌跡方程。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
左、右焦點分別為F
1、F
2,點
,點F
2在線段PF
1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線
與橢圓C交于M、N兩點,直線F
2M與F
2N的傾斜角分別為
,且
,求證:直線
過定點,并求該定點的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓x
2+my
21的離心率為
,則m的值為 ( )
A. 2或 B.2 C.或4 D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)
分別是橢圓
的左、右焦點,過
的直線
與
相交于
兩點,且
成等差數(shù)列,則
的長為
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(滿分13分)已知橢圓中心在原點,焦點在x軸上,離心率
,點
分別為橢圓的左、右焦點,過右焦點
且垂直于長軸的弦長為
⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵ 過橢圓的左焦點
作直線
,交橢圓于
兩點,若
,求直線
的傾斜角。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)F
1、F
2為橢圓
+y
2=1的兩焦點,P在橢圓上,當(dāng)△F
1PF
2面積為1時,
的值為 ( )
A.0 | B.1 | C.2 | D. |
查看答案和解析>>