【題目】如圖所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為平行四邊形,∠DAB=45°,四邊形CDEF為直角梯形,EF∥DC,ED⊥CD,AB=3EF=3,ED=a,AD.
(1)求證:AD⊥BF;
(2)若線段CF上存在一點(diǎn)M,滿足AE∥平面BDM,求的值;
(3)若a=1,求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)(3)
【解析】
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線AD及直線BF的方向向量,利用兩向量的數(shù)量積為0,即可得證;
(2)設(shè),根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù),求出平面BDN的一個(gè)法向量,以及直線AE的方向向量,利用AE∥平面BDM,建立關(guān)于λ的方程,解出即可;
(3)求出平面BCF及平面BCD的法向量,利用向量的夾角公式即可得解.
解:(1)∵平面CDEF⊥平面ABCD,ED⊥CD,
∴ED⊥平面ABCD,
如圖,以D為原點(diǎn),DC所在直線為y軸,過點(diǎn)D垂直于DC的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵∠DAB=45°,AB=3EF=3,,
∴A(1,﹣1,0),B(1,2,0),C(0,3,0),E(0,0,a),F(0,1,a),
∴,
∴,
∴AD⊥EF;
(2)設(shè),則,
設(shè)平面BDM的法向量為,則,
取x1=2,則,
若AE∥平面BDM,則,即,解得,
∴線段CF上存在一點(diǎn)M,滿足AE∥平面BDM,此時(shí);
(3)設(shè)平面BCF的法向量為,則,
取x2=1,則,
又平面BCD的一個(gè)法向量為,
∴,
由圖可知,二面角D﹣BC﹣F為銳角,故二面角D﹣BC﹣F的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,比賽要求雙方下滿五盤棋,開始時(shí)甲每盤棋贏的概率為,由于心態(tài)不穩(wěn),甲一旦輸一盤棋,他隨后每盤棋贏的概率就變?yōu)?/span>.假設(shè)比賽沒有和棋,且已知前兩盤棋都是甲贏.
(Ⅰ)求第四盤棋甲贏的概率;
(Ⅱ)求比賽結(jié)束時(shí),甲恰好贏三盤棋的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,AB1⊥BC,且AA1=AB.求證:
(1)AB平面D1DCC1;
(2)AB1⊥平面A1BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正四棱柱中,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)若為上的動(dòng)點(diǎn),使直線與平面所成角的正弦值是,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為圓的直徑,點(diǎn),在圓上,,矩形所在平面和圓所在平面互相垂直,已知,,
(1)求證:平面平面
(2)若幾何體和幾何體的體積分別為和,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線,則下面結(jié)論正確的是( )
A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
B.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
C.把向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍.縱坐標(biāo)不變,得到曲線
D.把向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取到極值為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年在北京-張家口舉行,為了搞好接待工作,組委會(huì)在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.將這30名志愿者的身高變成如右所示的莖葉圖(單位: ):若身高在以上(包括)定義為“高個(gè)子”,身高在以下(不包括)定義為“非高個(gè)子”,且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”.
(1)如果分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中提取5人,再?gòu)倪@5人中選2人,那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少?
(2)若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者,用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),試寫出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望.
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