Question

【題目】已知,數列的前項和為,且.

(1)求證:數列是等比數列,并求出通項公式;

(2)對于任意(其中,,均為正整數),若和的所有乘積的和記為,試求的值;

(3)設,,若數列的前項和為,是否存在這樣的實數,使得對于所有的都有成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析,;(2)1;(3)存在,.

【解析】

（1）當時,通過與作差，進而計算可得結論（2）通過（1）可得Tn的表達式，進而計算即得結論（3）通過（1）可知數列{cn}的通項公式，利用并項相加、分n為奇數、偶數兩種情況討論即可．

(1)∵,

∴當時,,

兩式相減,整理得:,

又∵,即,

∴數列是首項為1公比為2的等比數列,

∴;

(2)∵

,

∴;

(3)結論:存在這樣的實數,使得對于所有的都有成立.

理由如下:

由(1)可知,,即,,

故,,

特別地,當為偶數時,有為奇數,

此時,

①若為偶數,則

,

由可知對所有正偶數都成立,故;

②若為奇數,則,

由①可知,

由可知對所有正奇數都成立,故;

由①②可得實數的取值范圍是:,

所以存在這樣的實數,使得對于所有的都有成立.