Question

【題目】如圖，正方形，直角梯形，直角梯形所在平面兩兩垂直， ，且， .

（1）求證： 四點共面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，利用平行四邊形可證明， ，根據(jù)平行的傳遞性，可得，從而四邊形是平行四邊形，問題得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求出.

試題解析：

（1）證明：方法1：如圖，

取的中點，連接，

∵在正方形中， ， ，

在直角梯形中， ， ，

∴， ，即四邊形是平行四邊形，

∴，

∵在直角梯形中， ，即四邊形是平行四邊形，

∴，

由上得，即四邊形是平行四邊形，

∴四點共面．

方法2：由正方形，直角梯形，直角梯形所在平面兩兩垂直，

易證： 兩兩垂直，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

∵，

∴，即四邊形是平行四邊形，

故四點共面．

（2）解：設(shè)平面的法向量為，

∵，

則令，則，

設(shè)平面的法向量為，且，

則 令，則，

∴設(shè)二面角的平面角的大小為，則．