Question

已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出所有的正整數(shù)，使得．

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)條件前項(xiàng)成等差數(shù)列可以將，用公差的代數(shù)式表示，再由條件從第項(xiàng)起依次成等比數(shù)列可以得到關(guān)于公差的方程：，從而解得或（舍去），即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）考慮到（1）中求得數(shù)列的分段性，因此首先可驗(yàn)證或時(shí)符合題意，或時(shí)不合題意，接下來只需說明當(dāng)，條件給出的方程無解即可：，

若，則，∴，而這是不可能成立的，從而得證.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的公差為，則，(為整數(shù))

又∵，，成等比數(shù)列，∴，即，得或（舍去）， 4 分

當(dāng) 時(shí)，， 6 分 ∴，，數(shù)列從第項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，

∴當(dāng)時(shí)，，故， 8分

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)等式成立，即，

當(dāng)時(shí)等式成立，即， 10分 當(dāng)或時(shí)等式不成立， 12分

當(dāng)時(shí)，，

若，則，∴， 14分

，，從而方程無解，∴ .

故所求或． 16分

考點(diǎn)：1.等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)；2.數(shù)列與方程不等式相結(jié)合.