已知冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增.
(1)求實(shí)數(shù)的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)試判斷是否存在正數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/d/k6zdy2.png" style="vertical-align:middle;" />若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1) 或, (2) (3)
解析試題分析:(1)由題意知,解得:. 2分
又 ∴或, 3分
分別代入原函數(shù),得. 4分
(2)由已知得. 5分
要使函數(shù)不單調(diào),則,則. 8分
(3)由已知,. 9分
法一:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,
則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為,
因而,函數(shù)在上的最小值只能在或處取得,
又,
從而必有,解得.
此時(shí),,其對(duì)稱軸,
∴在上的最大值為,符合題意.
∴存在,使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/d/k6zdy2.png" style="vertical-align:middle;" />14分法二:假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意,
由(1)知,
則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為,
考點(diǎn):冪函數(shù)及二次函數(shù)單調(diào)性最值
點(diǎn)評(píng):第二問中二次函數(shù)不單調(diào)需滿足對(duì)稱軸在給定區(qū)間內(nèi),第三問關(guān)于最值的考查需注意對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系,從而確定給定區(qū)間上的單調(diào)性得到最值,一般求解時(shí)都要分情況討論
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域,并判斷的奇偶性;
(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù);
(3)如果當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,求與的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(為實(shí)數(shù),,),
(Ⅰ)若,且函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ec/24/ec824321244b3975c8c90c0df6fc4502.png" style="vertical-align:middle;" />,求的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,當(dāng)時(shí),是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),,,且函數(shù)為偶函數(shù),判斷是否大于?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值;
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某人2002年底花100萬元買了一套住房,其中首付30萬元,70萬元采用商業(yè)貸款.貸款的月利率為5‰,按復(fù)利計(jì)算,每月等額還貸一次,10年還清,并從貸款后的次月開始還貸.
(1)這個(gè)人每月應(yīng)還貸多少元?
(2)為了抑制高房?jī)r(jià),國(guó)家出臺(tái)“國(guó)五條”,要求賣房時(shí)按照差額的20%繳稅.如果這個(gè)人現(xiàn)在將住房150萬元賣出,并且差額稅由賣房人承擔(dān),問:賣房人將獲利約多少元?(參考數(shù)據(jù):(1+0.005)120≈1.8)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
運(yùn)貨卡車以每小時(shí)千米的速度勻速行駛130千米(單位:千米/小時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元,而汽車每小時(shí)耗油升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.
(Ⅰ)求這次行車總費(fèi)用關(guān)于的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)為何值時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
江蘇某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為平方米,且高度不低于米,設(shè)防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為米,外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為米.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域;
(2)要使防洪提的橫斷面的外周長(zhǎng)不超過10.5米,則其腰長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某產(chǎn)品在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為100t,平均分成若干批生產(chǎn)。設(shè)每批生產(chǎn)需要投入固定費(fèi)用75元,而每批生產(chǎn)直接消耗的費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量x的平方成正比,已知每批生產(chǎn)10t時(shí),直接消耗的費(fèi)用為300元(不包括固定的費(fèi)用)。
(1)若每批產(chǎn)品數(shù)量為20t,求此產(chǎn)品在一個(gè)生產(chǎn)周期的總費(fèi)用(固定費(fèi)用和直接消耗的費(fèi)用)。
(2)設(shè)每批產(chǎn)品數(shù)量為xt,一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的總費(fèi)用y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求
出y的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)解方程:;
(Ⅱ)設(shè),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值的表達(dá)式;
(Ⅲ)若,,求 的最大值.
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