【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)證明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱錐D′ABCFE的體積.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題分析:(1)折疊后仍有EF⊥HD,而AC∥EF,可得AC⊥HD′.(2)先定高線:OD′,由勾股定理得OD′⊥OH.由(1)得AC⊥OD′.因此OD′⊥平面ABC.再根據(jù)錐體體積公式求體積
試題解析:(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得=,故AC∥EF.
由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.
(2)由EF∥AC得.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4.
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,
所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.
又由=得EF=.
五邊形ABCFE的面積S=×6×8-××3=.
所以五棱錐D′ABCFE的體積V=××2=.
點(diǎn)睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關(guān)系的變化,不變的垂直關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
如圖的幾何體中, 平面, 平面,△為等邊三角形, 為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大;
(2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sin Bsin C的值.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若且,求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
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【題目】隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行,各單位要減員增效,有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420,且a為偶數(shù)),每人每年可創(chuàng)利b萬元.據(jù)評(píng)估,在經(jīng)營條件不變的前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬元,但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬元的生活費(fèi),并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的,為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益,該公司應(yīng)裁員多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足
(1)求的解析式;(2)作出函數(shù)的圖像,并寫出其單調(diào)區(qū)間;
(3)求在區(qū)間()上的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點(diǎn),若直線與橢圓相交于兩點(diǎn),試判斷是否存在實(shí)數(shù),使得以為直徑的圓過定點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求證:;
(3)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽約,甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定:兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設(shè)甲、乙、丙面試合格的概率分別是, , ,且面試是否合格互不影響.求:
(1)至少有1人面試合格的概率;
(2)簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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