雙曲線
x
2
 
a
2
 
-
y
2
 
b
2
 
=1(a>0,b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2離心率為e.過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則e2的值是( 。
分析:設(shè)|AF1|=|AB|=m,計算出|AF2|=(1-
2
2
)m,再利用勾股定理,即可建立a,c的關(guān)系,從而求出e2的值.
解答:解:設(shè)|AF1|=|AB|=m,則|BF1|=
2
m,|AF2|=m-2a,|BF2|=
2
m-2a,
∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m,
∴m-2a+
2
m-2a=m,
∴4a=
2
m,∴|AF2|=(1-
2
2
)m,
∵△AF1F2為Rt三角形,∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2
∴4c2=(
5
2
-
2
)m2,
∵4a=
2
m
∴4c2=(
5
2
-
2
)×8a2,
∴e2=5-2
2

故選D.
點評:本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì),考查雙曲線的定義,解題的關(guān)鍵是確定|AF2|,從而利用勾股定理求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓方程為
x
2
 
4
+
y
2
 
3
=1
,雙曲線
x
2
 
a
2
 
-
y
2
 
b
2
 
=1(a>0,b>0)
的焦點是橢圓的頂點,頂點是橢圓的焦點,則雙曲線的離心率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x
2
 
a
2
 
-
y
2
 
=1(a>0)
的漸近線為x±y=0,則雙曲線的焦距為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線
x
2
 
a
2
 
-
y
2
 
b
2
 
=1(a>0,b>0)
的一條漸近線與直線x+3y-2=0垂直,那么該雙曲線的離心率為
10
10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

雙曲線
x
a
-
y
b
=1(a>0,b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2離心率為e.過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則e2的值是( 。
A.1+2
2
B.3+2
2
C.4-2
2
D.5-2
2

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