【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合,且橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)是橢圓的右頂點,過點作兩條直線分別與橢圓交于另一點,若直線的斜率之積為,求證:直線恒過一個定點,并求出這個定點的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ )(Ⅱ)直線恒過點
【解析】分析: (Ⅰ)由題意布列關(guān)于a,b的方程組,解之即可;(Ⅱ)設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立可得,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示直線的斜率之積為,可得值,從而得證.
詳解: (Ⅰ)依題意:,解得,即橢圓;
(Ⅱ)設(shè)直線,
則,
即,
;
設(shè),而,則由得
,
,
即,
整理得,解得或(舍去)
直線,知直線恒過點.
點睛: 定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似,在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù),運用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點、定值顯現(xiàn).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為.
(l)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知直線分別與曲線、曲線交異于極點的,若的極徑分別為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)某長產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產(chǎn)量(萬噸) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價格(單位:元)與年產(chǎn)量滿足的函數(shù)關(guān)系式為,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完.
①根據(jù)(1)中所建立的回歸方程預(yù)測該地區(qū)2018()年該農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量;
②當(dāng)()為何值時,銷售額最大?
附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)的定義域為,滿足對任意,有.則稱為“形函數(shù)”;若函數(shù)定義域為,恒大于0,且對任意,恒有,則稱為“對數(shù)形函數(shù)”.
(1)當(dāng)時,判斷是否是“形函數(shù)”,并說明理由;
(2)當(dāng)時,判斷是否是“對數(shù)形函數(shù)”,并說明理由;
(3)若函數(shù)是形函數(shù),且滿足對任意都有,問是否是“對數(shù)形函數(shù)”?請加以證明,如果不是,請說明理由.
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【題目】秸稈還田是當(dāng)今世界上普通重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施,在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用.某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時讓秸稈還田,花元購買了一臺新型聯(lián)合收割機(jī),每年用于收割可以收入萬元(已減去所用柴油費);該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng),第一年由廠方免費維修保養(yǎng),第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費維修保養(yǎng),所付費用(元)與使用年數(shù)的關(guān)系為:,已知第二年付費元,第五年付費元.
(1)試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費用(元)與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系;
(2)這臺收割機(jī)使用多少年,可使平均收益最大?(收益=收入-維修保養(yǎng)費用-購買機(jī)械費用)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從集合的所有非空子集中,等可能地取出個.
(1)若,求所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率;
(2)若,記所取子集的元素個數(shù)之差為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在國慶周年慶典活動中,東城區(qū)教育系統(tǒng)近名師生參與了國慶中心區(qū)合唱、方陣群眾游行、聯(lián)歡晚會及萬只氣球保障等多項重點任務(wù).設(shè)是參與國慶中心區(qū)合唱的學(xué)校,是參與27方陣群眾游行的學(xué)校,是參與國慶聯(lián)歡晚會的學(xué)校.請用上述集合之間的運算來表示:①既參與國慶中心區(qū)合唱又參與27方陣群眾游行的學(xué)校的集合為_____;②至少參與國慶中心區(qū)合唱與國慶聯(lián)歡晚會中一項的學(xué)校的集合為_____.
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