【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x+ +1(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性與極值點的個數(shù);
(2)當a=0時,關(guān)于x的方程f(x)=m(m∈R)有2個不同的實數(shù)根x1 , x2 , 證明:x1+x2>2.

【答案】
(1)解:解:f′(x)= ﹣1﹣ = ,x>0

方程﹣x2+x﹣a=0的判別式為△=1﹣4a,

①當a≥ 時,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞),為減函數(shù),無極值點,

②當0≤a< 時,令f′(x)=0,解得x1= >0,x2= ,

當f′(x)<0,解得0<x< ,x> ,

此時f(x)在(0, ),( ,+∞)為減函數(shù),

當f′(x)>0時,解得 <x< ,

此時f(x)在( , )為增函數(shù),

此時f(x)有一個極大值點x= ,和一個極小值點x= ,

③當a<0,令f′(x)=0,解得x1= <0,x2= >0,

當f′(x)>0,解得0<x< ,此時f(x)在(0, ),為增函數(shù),

當f′(x)<0時,解得x> ,此時在( ,+∞)為減函數(shù),

此時f(x)有一個極大值點x=


(2)由題意知f(x1)=m,f(x2)=m,

故f(x1)=f(x2),

∵x1≠x2,不妨設(shè)x1<x2,

∴l(xiāng)nx1﹣x1+1=lnx2﹣x2+1,

∴l(xiāng)n =x2﹣x1,

=t,則x2=tx1,

∴l(xiāng)nt=(t﹣1)x1,

∴x1= ,x2=tx1= ,

故要證x1+x2= lnt>2,t>1,

即證(t+1)lnt>2(t﹣1),

令g(t)=(t+1)lnt﹣2t+2,

∴g′(t)= +lnt﹣2= ,

令h(t)=tlnt﹣t+1,t>1,

則h′(t)=lnt>0,

∴h(t)在t∈(1,+∞)上為增函數(shù),

∴h(t)>h(1)=0,

∴g(t)在(1,+∞)為增函數(shù),

∴g(t)>g(1)=0,

∴(t+1)lnt>2(t﹣1),

lnt>2,

∴x1+x2>2


【解析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)判別式和a的范圍分類討論,即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點的個數(shù),(2)問題轉(zhuǎn)化為要證x1+x2= lnt>2,t>1,即證(t+1)lnt>2(t﹣1),構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系即可證明.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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