Question

如圖，已知A₁，A₂，B₁，B₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)，△A₁B₁B₂是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其外接圓為圓M．
（1）求橢圓C及圓M的方程；
（2）若點(diǎn)D是圓M劣弧

A1B2

上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D異于端點(diǎn)A₁，B₂），直線B₁D分別交線段A₁B₂，橢圓C于點(diǎn)E，G，直線B₂G與A₁B₁交于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求

GB1

EB1

的最大值；
（Ⅱ）試問(wèn)：E，F(xiàn)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件求出橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，由此能求出圓M的方程．
（2）（Ⅰ）設(shè)直線B₁D的方程為y=kx-1，與直線A₁B₂的方程y=

3

3

x+1聯(lián)立，解得點(diǎn)E（

2 3

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），聯(lián)立

y=kx-1 x2 3 +y2=1

，解得點(diǎn)G（

6k

3k2+1

，

3k2-1

3k2+1

，由此能求出

GB1

EB1

的最大值．
（Ⅱ）直線B₂G的方程為y=-

1

3k

x+1，與直線A₁B₁的方程y=-

3

3

x-1聯(lián)立，解得點(diǎn)F（

-6k

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），由此能求出E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值為-2

3

．

解答： 解：（1）由題意知，B₂（0，1），A1(-

3

，0)，
∴b=1，a=

3

，∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，…（2分）
圓心M（-

3

3

，0），半徑A1M=

2 3

3

，
∴圓M的方程為（x+

3

3

）²+y²=

4

3

．…（4分）
（2）（Ⅰ）設(shè)直線B₁D的方程為y=kx-1，k＜-

3

3

，
與直線A₁B₂的方程y=

3

3

x+1聯(lián)立，解得點(diǎn)E（

2 3

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），…（6分）
聯(lián)立

y=kx-1 x2 3 +y2=1

，消去y并整理得，（1+3k²）x²-6kx=0，
解得點(diǎn)G（

6k

3k2+1

，

3k2-1

3k2+1

），…（9分）

GB1

EB1

=

|xG|

|xE|

=

| 6k 3k2+1 |

| 2 3 3 k-1 |

=

3k2- 3 k

3k2+1

=1-

3 k+1

3k2+1

=1+

1

-( 3 k+1)+ 2 -( 3 k+1) +2

≤1+

1

2 2 +2

=

2 +1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)k=-

6 + 3

3

時(shí)，取“=”，
∴

GB1

EB1

的最大值為

2 +1

2

．…（12分）
（Ⅱ）直線B₂G的方程為y=

3k2-1 3k2+1 -1

6k 3k2+1

x+1=-

1

3k

x+1，
與直線A₁B₁的方程y=-

3

3

x-1聯(lián)立，
解得點(diǎn)F（

-6k

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），…（14分）
∴E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

2 3

3 k-1

+

-6k

3 k-1

=-2

3

．
故E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值，該定值為-2

3

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程及圓的方程的求法，考查兩條線段比值的最大值的求法，考查兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之各為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．