Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（-1，-1），c為橢圓的半焦距，且c=

2

b．過點P作兩條互相垂直的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于另兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l₁的斜率為-1，求△PMN的面積；
（3）若線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1

a2

+

1

b2

=1，且c²=2b²，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)l₁方程為y+1=k（x+1），聯(lián)立

y=kx+k-1 x2+3y2=4

，得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．由此能求出△PMN的面積．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用點差法能求出直線MN的方程為x+y=0或x=-

1

2

．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）因為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（-1，-1），
c為橢圓的半焦距，且c=

2

b，
所以

1

a2

+

1

b2

=1，且c²=2b²，
所以a²=3b²，解得b²=

4

3

，a²=4．
所以橢圓方程為：

x2

4

+

3y2

4

=1．…（3分）
（2）設(shè)l₁方程為y+1=k（x+1），
聯(lián)立

y=kx+k-1 x2+3y2=4

，
消去y得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．
因為P為（-1，-1），解得M（

-3k2+6k+1

1+3k2

，

3k2+2k-1

1+3k2

）．…（5分）
當(dāng)k≠0時，用-

1

k

代替k，得N（

k2-6k-3

k2+3

，

-k2-2k+3

k2+3

）． …（7分）
將k=-1代入，得M（-2，0），N（1，1）．
因為P（-1，-1），所以PM=

2

，PN=2

2

，
所以△PMN的面積為

1

2

×

2

×2

2

=2．             …（9分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x12+3y12=4 x22+3y22=4

，
兩式相減得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因為線段MN的中點在x軸上，
所以y₁+y₂=0，從而可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0．…（12分）
若x₁+x₂=0，則N（-x₁，-y₁）．
因為PM⊥PN，所以

PM

•

PN

=0，得x₁²+y₁²=2．
又因為x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=±1，
所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．
所以直線MN的方程為y=-x．…（14分）
若x₁-x₂=0，則N（x₁，-y₁），
因為PM⊥PN，所以

PM

•

PN

=0，得y₁²=（x₁+1）²+1．
又因為x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=-

1

2

或-1，
經(jīng)檢驗：x=-

1

2

滿足條件，x=-1不滿足條件．
綜上，直線MN的方程為x+y=0或x=-

1

2

．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用．