Question

【題目】已知為橢圓的右焦點(diǎn)， 為上的任意一點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）是上異于的兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，證明: 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

Answer 1

【答案】(1) .(2)證明見解析.

【解析】試題分析：(1)法一:設(shè)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式化簡即可求得范圍；法二：運(yùn)用三角函數(shù)換元設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為利用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算出范圍（2）法一：設(shè)直線斜率分別為，聯(lián)立直線方程與曲線方程，利用根與系數(shù)之間關(guān)系，再由，計(jì)算得；法二：設(shè)直線的斜率分別為，計(jì)算得，由，得，即，證得的中點(diǎn)在上，同理可證的中點(diǎn)在上，即說明兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)

解析：解法一：（1）依題意得，所，

所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

所以

，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以的取值范圍為.

（2）設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

設(shè)直線斜率分別為，則直線方程為，

由方程組消去，得

，

由根與系數(shù)關(guān)系可得，

故，

同理可得，

又，

故 ，

則 ，

從而.

即兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

解法二：（1）依題意得，所，

所以的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以的取值范圍為.

（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率分別為，

由方程組得，

所以，

所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

所以的中點(diǎn)在上，

同理可證： 的中點(diǎn)在上，

所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

根據(jù)橢圓的對稱性，

所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).