如圖，三棱柱中ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點．則直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值是（　�。�
A、
21
7
B、
2
7
7
C、
21
14
D、
5
7
14
考點：直線與平面所成的角
專題：空間角
分析：如圖以O(shè)為原點，OB，OC，OA1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系由題可知A1A=A1C=AC=2，求出A1，C，A，B．求出平面A1AB的一個法向量，利用cos＜
n
，
A1C
＞=
n•
A1C
|
A1C
||n|
求解即可．
解答： 解：如圖以O(shè)為原點，OB，OC，OA1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系由題可知A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，OB=
1
2
AC=1，所以A1（0，0，
3
），C（0，1，0），A（0，-1，0），B（1，0，0）．
所以
A1C
=（0，1，-
3
），
AA1
=（0，1，
3
），
AB
=（1，1，0），
設(shè)平面A1AB的一個法向量為
n
=（x，1，z），
所以
n
•
AA1
=0
n
•
AB
=0
⇒
1+
3
z=0
x+1=0
⇒
x=-1
z=-
3
3
所以
n
=（-1，1，-
3
3
），
所以cos＜
n
，
A1C
＞=
n
•
A1C
|
A1C
||
n
|
=
21
7
，
因為直線A1C與平面A1AB所成角Q和向量
n
與
A1C
所成銳角互余，所以sinθ=
21
7
．
故選：A．
點評：本題考查直線與平面所成角的求法，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點（1，3）作直線l，使它經(jīng)過點（0，a）和（b，0），a，b是正整數(shù)，則直線l的方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

網(wǎng)通公司規(guī)定，市話費(fèi)的計費(fèi)方法為：前3分鐘（含三分鐘）0.22元，以后每分鐘0.1元，為實現(xiàn)算法，輸出費(fèi)用，則下面給出的條件語句符合題意的是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
2x，x≤
1
2
2-2x，x＞
1
2
，則函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上的圖象總長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1，設(shè)|
OF
|=c，S=
14
4
c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求|
OQ
|最小時此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+b（ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
，b∈R）在一個周期內(nèi)的部分對應(yīng)值如下表：
x-
π
4
 0
π
12
π
4
π
2
3π
4
y01
3
2
 2 1 0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)點A（
π
4
，0），B（-
π
4
，0），對于函數(shù)f（x）圖象上的點P（x1，f（x1））（-
π
4
＜x＜
π
4
），若在函數(shù)f（x）的圖象上存在點Q，滿足
PQ
+
AB
=0，求出點Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
x2
x4+2
（x≠0）的最大值及相應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校招募了8名男志愿者和12名女志愿者，將這20名志愿者的身高（單位：cm）編成如下莖葉圖：若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“拿高個子”，如果用分層抽樣的方法從“高小子”和“攀高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U={小于8的自然數(shù)}，A={2，4，6}，B={3，4，5，6}，求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）∁UA；
（4）∁UB．

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同步練習(xí)冊答案