【題目】已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1-2n+5,(n∈N且n≥2),a1=1,
(I)若bn=an-2n+1,求證數(shù)列{bn}(n∈N*)是常數(shù)列,并求{an}的通項;
(II)若Sn是數(shù)列{an}的前n項和,又cn=(-1)nSn,且{Cn}的前n項和Tn>tn2在n∈N*時恒成立,求實數(shù)t的取值范圍。
【答案】(I)an=2n-1;(II)(-∞,-1).
【解析】試題分析:(1)由已知中數(shù)列{an}滿足an=2an-1-2n+5(n∈N+且n≥2),a1=1.我們易得到an-2n+1=2[an-1-2(n-1)+1],又由bn=an-2n+1,可得bn=2bn-1,且b1=0,進而易判斷出數(shù)列{bn}(n∈N+)是常數(shù)列,即bn=0,再由bn=an-2n+1,即可給出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)中結論,我們易得數(shù)列{an}為等差數(shù)列,進而易得到Sn的表達式,根據(jù)cn=(-1)nSn,求出對應的{cn}后,分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出Tn解對應的不等式式,即可求出實數(shù)t的取值范圍.
試題解析:
(1)由已知中數(shù)列{an}滿足an=2an-1-2n+5(n∈N+且n≥2),a1=1.我們易得到an-2n+1=2[an-1-2(n-1)+1],又由bn=an-2n+1,可得bn=2bn-1,且b1=0,進而易判斷出數(shù)列{bn}(n∈N+)是常數(shù)列,即bn=0,再由bn=an-2n+1,即可給出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)中結論,我們易得數(shù)列{an}為等差數(shù)列,進而易得到Sn的表達式,根據(jù)cn=(-1)nSn,求出對應的{cn}后,分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出Tn解對應的不等式式,即可求出實數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)由an=2an-1-2n+5知:an-2n+1=2[an-1-2(n-1)+1],而a1=1
于是由bn=an-2n+1,可知:bn=2bn-1,且b1=0
從而bn=0,故數(shù)列{bn}是常數(shù)列.
于是an=2n-1.
(2)Sn是{an}前n項和,則Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2,cn=(-1)nn2
當n為奇數(shù)時,即n=2k-1,Tn=T2k-1=-12+22-32+42+…+(2k-2)2-(2k-1)2
=-k(2k-1)=-
當n為偶數(shù)時,Tn=T2k=T2k-1+(2k)2=.
∴Tn=.
由Tn>tn2恒成立,則需>tn2恒成立.只需n為奇數(shù)時恒成立.
∴(n=1,3,5,7,),
∴(n=1,3,5,7,)恒成立.
而,
∴t<-1,故所需t的范圍為(-∞,-1).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠共有10臺機器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術水平等因素限制,會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗知道,若每臺機器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關系:P=0.1x2﹣3.2lnx+3,已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每產(chǎn)生1萬件裝次品將虧損1萬元.(利潤=盈利﹣虧損) (I)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù);
(II)當每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)寫為多少時所獲得的利潤最大,最大利潤為多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,把方程f(x)-x=0的根按從小到大順序排成一個數(shù)列,則該數(shù)列的前n項和Sn=_________。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,,8)數(shù)據(jù)作了初步處理, 得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
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46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
其中wi= , =
(Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d 哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;
(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2y﹣x.根據(jù)(Ⅱ)的結果回答下列問題:
(i)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?
(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1 , v1),(u2 , v2),,(un , vn),其回歸直線v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為: = , = ﹣ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若對一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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