Question

某鎮(zhèn)政府為了更好地服務于農(nóng)民，派調(diào)查組到某村考察．據(jù)了解，該村有100戶農(nóng)民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為3萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，該鎮(zhèn)政府決定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工．據(jù)估計，若能動員x(x＞0)戶農(nóng)民從事蔬菜加工，則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高2x%，而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均每戶的年收入將為3 (a＞0)萬元．
(1)在動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入，求x的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入，求a的最大值．

Answer 1

（1）0＜x≤50（2）5

(1)由題意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，
即x²－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.
(2)從事蔬菜加工的農(nóng)民總年收入為3x萬元，
從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入為3(100－x)(1＋2x%)萬元．
根據(jù)題意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，
即ax≤100＋x＋恒成立．
因為0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，
而＋＋1≥5，當且僅當x＝50時取等號，所以a的最大值為5.