過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點A作斜率為1的直線l與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若AM=MB，則該橢圓的離心率為
 
．
分析：易知左頂點A的坐標為（-a，0），從而設直線l的方程為：y=x+a，與y軸相交得到B（0．a(chǎn)），再由AM=MB知M為線段AB的中點得M（-
a
2
，
a
2
），最后由M在橢圓上求得a，c關系得到離心率．
解答：解：根據(jù)題意：左頂點A（-a，0），直線l的方程為：y=x+a
∴B（0．a(chǎn)），
又∵AM=MB
∴M（-
a
2
，
a
2
）
又∵M在橢圓上
∴
(-
a
2
)2
a2
+
(
a
2
)2
b2
=1
整理得：a2=3b2=3（a2-c2）
∴2a2=3c2
∴e=
6
3

故答案為：
6
3
．
點評：本題主要考查橢圓的頂點，離心率以及a，b，c間的轉(zhuǎn)化關系，同時還考查線與線的關系，點與橢圓的位置關系．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過直線l：x=
a2
c
上任意一點M，引橢圓C的兩條切線，切點為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點（2
2
，0）；
（3）當點M的縱坐標為1時，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點A做圓x2+y2=b2的切線，切點為B，延長AB交拋物線于y2=4ax于點C，若點B恰為A、C的中點，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．

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