Question

P是雙曲線x²-=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是左、右焦點(diǎn)，I是三角形PF₁F₂的內(nèi)心（三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)），若=2+（1+），則實(shí)數(shù)λ的值為________．

Answer 1

2
分析：利用三角形的面積公式與雙曲線的定義，可求得λ=，從而可求得答案．
解答：依題意，設(shè)雙曲線x²-=1的焦距為2c，實(shí)軸長(zhǎng)為2a，則c=2，a=1．
∵I是三角形PF₁F₂的內(nèi)心，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，
則：=（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r，
=|PF₂|r，=|F₁F₂|r，
∵=2+（1+），
又=++，
∴+=，
即|PF₂|r|+×|F₁F₂|r=|PF₁|r，
∴|PF₂|+|F₁F₂|=|PF₁|，又P是雙曲線x²-=1右支上一點(diǎn)，
∴====，
∴λ=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積公式與雙曲線的定義及性質(zhì)（離心率）的應(yīng)用，求得λ=是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與綜合運(yùn)用的能力，屬于中檔題．