Question

設(shè)點P是雙曲線x2-

y2

3

=1上一點，焦點F（2，0），點A（3，2），使|PA|+

1

2

|PF|有最小值時，則點P的坐標是

(

21

3

，2)

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意算出雙曲線的離心率e=2，右準線方程為x=

1

2

．連結(jié)PF，過P作右準線的垂線，垂足為M，由雙曲線第二定義得|PM|=

1

2

|PF|，從而得出|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，利用平面幾何知識可得當P、A、M三點共線時，|PA|+|PM|=|AM|達到最小值．由此利用雙曲線的方程加以計算，可得滿足條件的點P的坐標．

解答：解：∵雙曲線x2-

y2

3

=1中，a=1，b=

3

，
∴c=

a2+b2

=2，
可得雙曲線的離心率e=

c

a

=2，右準線方程為x=

a2

c

即x=

1

2

，
設(shè)右準線為l，過P作PM⊥l于M點，連結(jié)PF，
由雙曲線的第二定義，得

|PF|

|PM|

=e=2，可得|PM|=

1

2

|PF|．
∴|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，
運動點P，可得當P、A、M三點共線時，|PA|+|PM|=|AM|達到最小值．
此時經(jīng)過P、A、M三點的直線與x軸平行，
設(shè)P（m，2），代入雙曲線方程得m2-

22

3

=1，解之得m=

7 3

=

21

3

，得點P（

21

3

，2）．
∴滿足使|PA|+

1

2

|PF|有最小值的點P坐標為（

21

3

，2）．
故答案為：(

21

3

，2)

點評：本題給出定點A與雙曲線上的動點P，求|PA|+

1

2

|PF|有最小值時點P的坐標．著重考查了雙曲線的定義與標準方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．