已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且Sn-1+
1
Sn
+2=0(n≥2).
(1)寫出S1,S2,S3,S4.(不用寫求解過程)
(2)猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:第(1)問,因?yàn)閍1=s1,代入Sn-1+
1
Sn
+2=0(n≥2)可得S2,依此類推,可得S3,S4;
第(2)問,根據(jù)第一問結(jié)果,猜想出Sn的表達(dá)式,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立,然后寫出假設(shè),即n=k時(shí),結(jié)論成立,利用Sn-1+
1
Sn
+2=0(n≥2),將假設(shè)代入上式,解出Sk+1,從而證明n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
解答: 解:由已知得(1)S1=1, S2=-
1
3
, S3=-
3
5
, S4=-
5
7

(2)猜想Sn=
2n-3
2n-1
,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),S1=-
2×1-3
2×1-1
=1
,猜想成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)猜想成立,即Sk=-
2k-3
2k-1
,
那么∵Sk+
1
Sk+1
+2=0
,
1
Sk+1
=-2-Sk=-2+
2k-3
2k-1
=-
2k+1
2k-1

Sk+1=-
2k-1
2k+1
=
2(k+1)-3
2(k+1)-1
,所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立
由①和②,可知猜想對(duì)任何n∈N都成立.
點(diǎn)評(píng):利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,關(guān)鍵在于第二步證明n=k+1時(shí)命題成立,一般是找到n=k時(shí)與n=k+1時(shí)的要證的結(jié)論之間的關(guān)系,然后將假設(shè)代入這個(gè)關(guān)系式,求出(或者變形得到)我們要的n=k+1時(shí)的結(jié)論;再就是注意證明時(shí)的模式,即(1)驗(yàn)證n取初始值時(shí)命題成立,(2)寫出假設(shè),由此結(jié)合已知推出n=k+1時(shí)的結(jié)論成立;(3)綜上,下結(jié)論.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
左焦點(diǎn)F1且傾斜角為45°的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P,若線段PF1的中點(diǎn)Q落在y軸上,則此雙曲線的離心率為( 。
A、
3
B、1+
3
C、
2
D、1+
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=x2-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。
A、3B、2C、1D、0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=lg
1+sinx
cosx
的圖象( 。
A、關(guān)于x軸對(duì)稱
B、關(guān)于y軸對(duì)稱
C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
D、關(guān)于直線y=x對(duì)稱

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示,若△ABC是以角C為鈍角的鈍角三角形,則一定成立的是(  )
A、f(sinA)>f(cosB)
B、f(sinA)<f(cosB)
C、f(sinA)>f(sinB)
D、f(cosA)<f(cosB)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右準(zhǔn)線為直線l,動(dòng)直線y=kx+m(k<0,m>0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,射線OM分別交橢圓及直線l于P,Q兩點(diǎn),如圖.若A,B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn),上頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為
1
e
(其中e為橢圓的離心率),且OQ=
5
OM.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如果OP是OM,OQ的等比中項(xiàng),那么
m
k
是否為常數(shù)?若是,求出該常數(shù);若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*
(1)證明:{an-1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線與橢圓
x2
9
+
y2
25
=1有公共焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,它們的離心率之和為2
4
5

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2013年某市某區(qū)高考文科數(shù)學(xué)成績抽樣統(tǒng)計(jì)如下表:
分組頻數(shù)頻率頻率/組距
[0,30)60.0060.0002
[30,60)820.0820.0027
[60,90)2560.2560.0085
[90,120)mn0.0145
[120,150]220N0.0073
合計(jì)M1
(Ⅰ)求出表中m、n、M、N的值,并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在如圖坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖;(縱坐標(biāo)保留了小數(shù)點(diǎn)后四位小數(shù))
(Ⅱ)若2013年北京市高考文科考生共有20000人,試估計(jì)全市文科數(shù)學(xué)成績?cè)?0分及90分以上的人數(shù);
(Ⅲ)香港某大學(xué)對(duì)內(nèi)地進(jìn)行自主招生,在參加面試的學(xué)生中,有7名學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?40分以上,其中男生有4名,要從7名學(xué)生中錄取2名學(xué)生,求其中恰有1名女生被錄取的概率.

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