【題目】已知命題α:函數(shù)的定義域是R;命題β:在R上定義運(yùn)算:xy=x(1-y).不等式(x-a)(x+a)<1對任意實數(shù)x都成立.
(1)若α、β中有且只有一個真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若α、β中至少有一個真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若α、β中至多有一個真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) (,0)∪[,4);(2) (,4);(3) (∞,0)∪[,+∞)
【解析】
分別求出命題α為真時和命題β為真時a的取值范圍,再求:(1)若α為真、β為假時和α為假、β為真時對應(yīng)a的取值范圍,求并集即可;(2)求出α為假且β為假時a的取值范圍,再求補(bǔ)集即可;(3)求出α為真且β為真時a的取值范圍,再求補(bǔ)集即可.
函數(shù)的定義域是R,則ax2ax+1>0恒成立,
a=0時,滿足條件;
a≠0時,則,解得0<a<4;
所以命題α為真命題時,a∈[0,4);
又在R上定義運(yùn)算:xy=x(1y),
不等式(xa)(x+a)<1可化為(xa)(1xa)<1,
即x2xa2+a+1>0對任意的x∈R都成立;
令△=14(a2+a+1)<0,
解得<a<,
所以命題β為真時a的取值范圍是a∈(,).
(1)若α為真、β為假時,有,即≤a<4;
若α為假、β為真時,有,即<a<0;
綜上,實數(shù)a的取值范圍是(,0)∪[,4);
(2)若α為假且β為假時,有,即a≤或a≥4;
所以α、β中至少有一個真命題時,實數(shù)a的取值范圍是(,4);
(3)若α為真且β為真時,有,即0≤a<;
所以α、β中至多有一個真命題時,實數(shù)a的取值范圍是(∞,0)∪[,+∞).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點,點,直線過點且與曲線相交于,兩點,設(shè)線段的中點為,求的值.
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【題目】已知函數(shù)
當(dāng)時,畫出函數(shù)的圖像,并寫出使得的所有組成的集合.
若該函數(shù)的圖像都在軸的上方,求的取值范圍.
若該函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍.
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【題目】已知幾何體,其中四邊形為直角梯形,四邊形為矩形, ,且, .
(1)試判斷線段上是否存在一點,使得平面,請說明理由;
(2)若,求該幾何體的表面積.
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【題目】在棱長為1的正方體中,點是對角線上的動點(點與不重合),則下列結(jié)論正確的是____.
①存在點,使得平面平面;
②存在點,使得平面;
③的面積不可能等于;
④若分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點,使得.
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