Question

選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程；
（2）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）把所給的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)，化為普通方程．
（2）設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），由中點公式求得M的坐標(biāo)，根據(jù)點M到直線C₃ 的距離為 d=

|4cosθ-2-(4+3sinθ)-7|

1+4

=

|5sin(θ+∅)-13|

5

，可得當(dāng)sin（θ+∅）=1時，d取得最小值．

解答：解：（1）對于曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)t，可得 （x+4）²+（y-3）²=1；
對于曲線 C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)θ，可得

x2

64

+

y2

9

=1．
（2）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，則點P的坐標(biāo)為（-4，4），
設(shè)Q（8cosθ，3sinθ）為C₂上的動點，則PQ中點M（ 4cosθ-2，

4+3sinθ

2

）．
 直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)），即 x-2y-7=0．
∴點M到直線C₃：x-2y-7=0 的距離為 d=

|4cosθ-2-(4+3sinθ)-7|

1+4

=

|4cosθ-3sinθ-13|

5

=

|5sin(θ+∅)-13|

5

，其中，sin∅=

4

5

，cos∅=-

3

5

．
故當(dāng)sin（θ+∅）=1時，d取得最小值為

|5-13|

5

=

8 5

5

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，中點公式、點到直線的距離公式的應(yīng)用，輔助角公式、正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．